Alguém pode me dar a idéia de = = Integral indefinido?

Integral definido versus indefinido

Uma integral definida inclui uma especificação do conjunto de valores sobre os quais a integral deve ser calculada. Como resultado, ele tem um valor definido, por exemplo, a área sob uma curva em um determinado intervalo.

Por outro lado, uma integral indefinida não especifica o conjunto de valores sobre os quais a integral deve ser calculada. Ele basicamente identifica como é a função antiderivada, incluindo alguma constante de integração a ser determinada. Por exemplo:

#int x^2 dx = 1/3 x^3 + C#

Integrais não elementares de funções elementares

Diferentemente das derivadas, a integral de uma função elementar não é necessariamente elementar. O termo "função elementar" indica funções construídas usando operações aritméticas básicas, #n#ra raízes trigonométricas, hiperbólicas, exponenciais e logaritmos.

Existem algumas funções não elementares muito úteis expressáveis ​​como integrais de funções elementares. Por exemplo, a função Gamma:

#Gamma(x) = int_0^oo t^(x-1) e^(-t) dt#

A função Gamma estende a definição de fatorial a valores além de números inteiros não negativos.

Pólos e valor principal de Cauchy

Se uma função possui uma singularidade, como um pólo simples, sua integral definida em um intervalo que inclui esse pólo não é automaticamente bem definida. Uma solução alternativa para esses casos é fornecida pelo valor principal de Cauchy.

Por exemplo:

#int_(-1)^1 dt/t = lim_(epsilon -> 0+) (int_(-1)^-epsilon dt/t + int_epsilon^1 dt/t) = 0#

Conjuntos não mensuráveis

Se o conjunto sobre o qual você está tentando integrar não for mensurável, a integral geralmente não está definida. Uma exceção seria se o valor da função nesse conjunto fosse zero.

Para 'construir' um conjunto não mensurável, você usaria normalmente o axioma da escolha.

Por exemplo, você pode definir uma relação de equivalência em #RR# por:

#a ~ b <=> (a-b) " is rational"#

Esta relação de equivalência particiona #RR# em uma infinidade incontável de conjuntos contáveis.

Use o axioma de escolha para escolher exatamente um elemento de cada classe de equivalência para criar um subconjunto #S sub RR#.

Para qualquer número racional #x#, podemos definir #S_x# consistir nos elementos de #S# Deslocado por #x#. Então os conjuntos #S_x : x in QQ# formar uma partição de #RR# em uma infinidade contável de subconjuntos.

Podemos definir uma função não integrável por:

#f(t) = { (1 " if " t in S_x " where " x = p/q " in lowest terms and " q " is even"), (0 " otherwise") :}#

Esta função não é integrável em nenhum intervalo.