Avaliar a integral indefinida como uma série de potências?

Lembre-se da expansão da série Power para #ln(1+x):#

#ln(1+x)=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n#

Este é um que você deve memorizar; no entanto, é derivado da seguinte maneira:

#ln(1+x)=int1/(1+x)dx=int1/(1-(-x))dx#

#=intsum_(n=0)^oo(-1)^nx^n=sum_(n=0)^ooint(-1)^nx^n#

#ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)# (Integração termo a termo realizada na série)

Deixando #x=0,#

#C=ln(1+0)=0#

Executando uma mudança de índice para #n=1#, implica substituir todos #n# na série com #n-1#

#=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n#.

Sabendo disso, podemos reescrever nossa integral indefinida fornecida da seguinte maneira:

#intx^3sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/ndx#

Multiplique no #x^3# na série. Podemos fazer isso porque, no que diz respeito à série, #x# será um valor fixo. Tudo o que precisamos fazer é adicionar #3# para o expoente de #x^n, x^3x^n=x^(n+3)#

#intsum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx#

O raio de convergência desta série é #R=1,# como esse é o raio de convergência da expansão da série de potência para #ln(1+x)#. Multiplicando no #x^3# não altera o raio de convergência.

Realizamos integração termo a termo nas séries:

#sum_(n=1)^ooint(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx#

#=C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))#

Nós saímos #C# como está aqui.

O raio de convergência ainda é #R=1.# O raio de convergência não muda ao integrar a série (o intervalo pode).