Avaliar sin 20?

Responda:

#sin(20^@)~~0.34202014332566# Casas decimais 14

Explicação:

Primeiro método:

E, de longe, o método mais fåcil é usar uma calculadora

#sin(20^@)~~0.34202014332566# Casas decimais 14

Segundo método:

Se todos os botÔes trigonométricos da sua calculadora estiverem quebrados,
depois de toda a matemåtica selvagem :), existe outra solução

Use o identidade

  • #sin(3theta)=3sin(theta)-4sin^3(theta)#

Deixei #theta=20^@#

#sin(60^@)=3sin(20^@)-4sin^3(20^@)#

Mas #sin(60^@)=sqrt(3)/2#

#sqrt(3)/2=3sin(20^@)-4sin^3(20^@)#

#=>3sin(20^@)-4sin^3(20^@)-sqrt(3)/2=0#

Deixei #x=sin(20^@)#

#3x-4x^3-sqrt(3)/2=0#

#3/4x-x^3-sqrt(3)/8=0#

#x^3-3/4x+sqrt(3)/8=0#

Em outras palavras #sin(20)# deve ser uma solução para este cĂșbico

Pelo método de Newton, podemos aproximar essa raiz
(No entanto, tenha um pouco de cuidado)

#x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))#

Sabemos

#f(x)=x^3-3/4x+sqrt(3)/2# and #f'(x)=3x^2-3/4#

Desenhado #sin(20)# parece cerca de um terço (na verdade, um palpite muito bom)

#x_0=1/3#

Pelo método de Newton

#x_1=1/3-((1/3)^3-3/4(1/3)+sqrt(3)/2)/(3(1/3)^2-3/4)~~ 0.341837464493#

#x_2=x_1-f(x_1)/(f'(x_1))~~ 0.342020057633#

#x_3=x_2-f(x_2)/(f'(x_2))~~ 0.342020143326#

ApĂłs etapas do 3 precisas com pelo menos casas decimais do 12

ApĂłs apenas as etapas do 6, devemos ter uma precisĂŁo em torno dos dĂ­gitos do 100,
de acordo com Wolfram Alpha, pelo método de Newton