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Como a divisão sintética pode ser usada para fatorar um polinômio?

Aqui está um exemplo razoável de pré-cálculo de divisão sintética para ilustrar o conceito.

Digamos que você tivesse:

#2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8#

Como Joan disse, há um aspecto de tentativa e erro nisso.

Observe todos os coeficientes e pense sobre o que fator comum pode ser.

  • Se você não receber um restante zero, o fator realmente não funcionará e você deve tentar novamente.
  • Se todos os fatores possíveis estiverem esgotados, talvez não seja fatorável.

Aqui, os fatores que você pode tentar incluem os que correspondem ao coeficiente de quarta ordem (#2#) e o coeficiente de ordem zero (#8#).

  • #8# tem fatores de #1, 2, 4#e #8#.
  • #2# tem fatores de #1# e #2#.

Portanto, os possíveis fatores podem ser considerados #pmp/q#, Onde #p# consiste nos fatores do coeficiente de grau zero, e #q# consiste nos fatores do mais alto grau de coeficiente.

Portanto, você pode ter fatores de:

#pm[1, 2, 4, 8, 1/2]#

Então você pode tentar tudo isso (#2/2#, #4/2#e #8/2# são duplicados). Lembre-se de que se #-a# é usado como está escrito no processo de divisão sintética no canto esquerdo, corresponde a #x+a#.

Nós vamos usar #-1# Aqui. Eu tendem a tentar #1# e #-1# primeiro, e suba em valor, e tente as frações por último.

#ul(-1|)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#

Drop down the #2#e multiplique pelo #-1# para obter #-2#.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2#

Adicionar #-3# e #-2#, multiplique o resultante #-5# by #-1# novamente.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5#

Repita até terminar.

Adicionar #-3# e #-2#, multiplique o resultante #-1# by #-1# novamente.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "color(white)(.)" "0color(white)(.)" "-3" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5" "" "0" "" "3" "" "5#

Sua resposta aqui é a seguinte, onde 2 corresponde a #2x^3#, desde que você dividiu um polinômio de quarta ordem por um polinômio de primeira ordem.

Portanto, uma maneira de expressar o resultado é:

#(2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8)/(x+1)#

#= color(blue)(overbrace(2x^3 - 5x^2 + 0x + 3)^"Quotient Term" + overbrace(5/(x+1))^"Remainder Term")#

where the #5/(x+1)# was written by saying that the last value below the horizontal bar (below #-2, 5, 0, -3#), being #5#, is divided by the #x pm a# equation such that #x pm a = 0#. So, #x+1# indicates that the factor we have just used is #-1#.

(Naturalmente, se o restante for #0#, você não possui a fração restante no final.)