Como encontro o limite de # (xy) / sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) #?

Suponho que o limite seja:

#lim_((x,y)rarr(0,0))(xy)/sqrt(x^2+y^2)#.

A resposta é: #0#.

Esse limite está na forma de indecisão: #0/0#.

Os limites de uma função de mais de uma variável são realmente diferentes dos de uma variável. A variável #x# pode "ir" ao seu limite (por exemplo, #a#) "apenas" em duas direções (#a^+,a^-#) Em mais de uma variável, as direções são infinitas! Portanto, se queremos demonstrar que um limite não existe, é simplesmente, porque podemos escolher duas direções diferentes que levam a valores diferentes.

A maneira de demonstrar e calcular uma tomada de limite apenas um O limite é fazer um cálculo para todas as direções.
Parece não ser tão fácil ...

mas

se mudarmos o sistema de coordenadas de cartesiano para polar, teremos duas novas variáveis #rho,theta# e #theta# nos dará todos as instruções em um tiro!

Se o limite dependerá apenas de #rho# o limite existe!

Agora vamos fazer o exercício.

Eu lembro disso:

#x=rhocostheta#
#y=rhosintheta#

e se

#(x,y)rarr(0,0)#

do que

#rhorarr0#.

Assim:

#lim_(rhorarr0)(rhocosthetarhosintheta)/sqrt(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta)=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/sqrt(rho^2(cos^2theta+sin^2theta))=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/(rhosqrt((cos^2theta+sin^2theta)))=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/rho=#

#lim_(rhorarr0)rhocosthetasintheta=0#

e, é fácil dizer, esse limite não depende de #theta#!

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