Como integrar arc sin x dx?

Vamos continuar usando integração por substituição e Integração por partes.

Substituição:

Deixei #t = arcsin(x) => x = sin(t)# e #dx = cos(t)dt#

Então, substituindo, temos

#intarcsin(x)dx = inttcos(t)dt#

Integração por partes:

Deixei #u = t# e #dv = cos(t)dt#

Então #du = dt# e #v = sin(t)#

Pela fórmula de integração por partes #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t)-intsint(t)dt#

#=tsint(t)-(-cos(t)+C)#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

#=arcsin(x)*sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x))+C#

As #sin(arcsin(x)) = x# e #cos(arcsin(x)) = sqrt(1-x^2)#

(tente desenhar um triângulo retângulo onde #sin(theta)=x# e calcular #cos(theta)# para obter a segunda igualdade)

obtemos nosso resultado final:

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#