Como resolvo o 'log (base 10) 5' sem usar a calculadora?

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Explicação:

Se vocĂȘ memorizou isso
#log2=0.3#
vocĂȘ pode seguir este caminho
#log5=log(10/2)=1-log2=1-0.3=0.7#

Se vocĂȘ deseja uma maneira geral de encontrar logaritmos sem usar calculadoras ou tabelas, use esta fĂłrmula:
#(1/2)ln|(1+x)/(1-x)|=f(x)=x+x^3/3+x^5/5+...#
E
#logy=lny/ln10=2/ln10*(1/2*ln|y|)# => #logy=0.869*(1/2*ln|y|)# onde #y=(1+x)/(1-x)#
(Nota1: vocĂȘ pode usar #2/ln10= 0.868589# com a precisĂŁo que vocĂȘ gosta. Usando dois termos da sĂ©rie, o 0.869 possui um nĂ­vel adequado de precisĂŁo. Nota 2: os valores de x devem ser menores que 1.)

NĂŁo podemos calcular #log5# diretamente porque
#(x+1)/(1-x)=5# => #x+1=5-5x# => #6x=4# => #x=1.5#
E a série não converge quando #x>1#

Mas desde #5=2*2.5#
para #y_1=2 ->(x+1)/(1-x)=2# => #x+1=2-2x# => #x=1/3~=0.3333#
#f(x=1/3)=1/3+1/3^3*1/3=1/3+1/81=0.3333+0.0123=0.3456#

para #y_2=2.5 -> (x+1)/(1-x)=2.5# => #x+1=2.5-2.5x# => #3.5x=1.5# => #x=3/7~=0.4286#
Claro que podemos usar isso #x=0.4286#. Mas talvez exista uma maneira mais fĂĄcil (sem uma calculadora, precisamos pensar nisso), como:

Considerando que #5=2^2*1.25# (e como jĂĄ calculamos #f(x=1/3)#):
para #y_2=1.25 -> (x+1)/(1-x)=1.25# => #x+1=1.25-1.25x# => #2.25x=0.25# => #x=25/225=1/9~=0.1111#
#f(x=1/9)=0.1111+1/9^3*1/3=0.1111+1/729*1/3=1/9+1/2187=0.1111+0.0005=0.1116#
(quanto ao nĂșmero #0.0005# apenas lembre-se disso #10/2=5#)

Usando os resultados acima
#log5=0.869[2*(1/2*ln|2|)+(1/2*ln|1.25|)]=0.869[2*f(x=1/3)+f(x=1/9)]=0.869[2*0.3456+0.1116]=0.869[0.6912+0.1116]=0.869*0.8028=0.6976332# or #0.698# em decimais 3

Devemos estar cientes de que essa Ășltima estimativa Ă© menor que o resultado correto.

(De fato #log5=0.6990#)