Como uso o teorema de DeMoivre para resolver # z ^ 3-1 = 0 #?

If #z^3-1=0#, procuramos as raízes cúbicas da unidade, ou seja, os números que #z^3=1#.

Se você estiver usando números complexos, todas as equações polinomiais de grau #k# produz exatamente #k# solução. Então, esperamos encontrar três raízes cúbicas.

O teorema de De Moivre usa o fato de que podemos escrever qualquer número complexo como #rho e^{i theta}= rho (cos(theta)+isin(theta))#e afirma que, se
#z=rho (cos(theta)+isin(theta))#, Em seguida
#z^n = rho^n (cos(n theta)+isin(n theta))#

Se você olhar para #1# como um número complexo, então você tem #rho=1#e #theta=2pi#. Estamos, portanto, procurando três números para que #rho^3=1#e #3theta=2pi#.

Desde #rho# é um número real, a única solução para #rho^3=1# is #rho=1#. Por outro lado, usando a periodicidade dos ângulos, temos que as três soluções para #theta# estão
#theta_{1,2,3}=frac{2kpi}{3}#, Por #k=0,1,2#.

Isso significa que as três soluções são:

1. #rho=1, theta=0#, que é o número real #1#.
2. #rho=1, theta=frac{2pi}{3}#, que é o número complexo #-1/2 + sqrt{3}/2 i#
3. #rho=1, theta=frac{4pi}{3}#, que é o número complexo #-1/2 - sqrt{3}/2 i#