Como vocĂȘ avalia #sec 15 #?

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Valor exato:

Explicação:

Essa Ă© uma daquelas perguntas raras que vocĂȘ pode avaliar exatamente usando as fĂłrmulas de soma e diferença.

Primeiro, porém, vamos definir #sectheta#. Pelas identidades recíprocas #sectheta = 1/costheta#

#sec15#
#=1/cos15#

Agora, #15^@# pode ser escrito como #60^@ - 45^@#

Pela identidade de soma e diferença #cos(alpha - theta) = cosalphacostheta + sinalphasintheta#

Portanto, podemos afirmar o seguinte:

#1/cos15 = 1/cos(60 - 45)#

ExpansĂŁo:

#=1/(cos60cos45 + sin60sin45)#

#=1/(1/2 xx 1/sqrt(2) + sqrt(3)/2 xx 1/sqrt(2))#

#= 1/((1/(2sqrt(2)) + sqrt(3)/(2sqrt(2)))#

#= 1/((1 + sqrt(3))/(2sqrt2))#

#= (2sqrt(2))/(1 + sqrt(3))#

Racionalizando o denominador:

#= (2sqrt(2))/(1 + sqrt(3)) xx (1 - sqrt(3))/(1 - sqrt(3))#

#=(2sqrt(2) - 2sqrt(6))/-2#

#=(2(sqrt(2) - sqrt(6)))/-2#

#= sqrt6 - sqrt(2)#

Portanto, #sec15 = sqrt(6) - sqrt(2)#

Espero que isso ajude!