Como você converta 0.123 (repetição de 123) em uma fração?

Usarei a notação de barra para indicar os dígitos repetidos.

Primeiro multiplique por #(1000-1)# para obter um número inteiro:

#(1000-1)*0.bar(123) = 123.bar(123) - 0.bar(123) = 123#

#1000# é escolhido para mudar o padrão de dígitos #3# lugares à esquerda, ou seja, pelo comprimento da seção repetida. Subtrair o original cancela a cauda repetida.

Divida os dois lados por #(1000-1)# e simplifique:

#0.bar(123) = 123/(1000-1) = 123/(999) = (41*color(red)(cancel(color(black)(3))))/(333*color(red)(cancel(color(black)(3)))) = 41/333#