Como você encontra a derivada de #f (x) = x / (x-1) #?

Você poderia usar o regra do quociente, mas normalmente evito fazer isso sempre que possível, pois acho que isso leva a maiores chances de cometer um erro e geralmente é mais árduo. Para diferenciar usando o Regra do produto, reescreva como

#f(x)=x(x-1)^-1#

Regra do produto:

#f(x)=g(x)h(x)#

#f'(x)=g(x)h'(x) + g'(x)h(x)#

No nosso caso, #g(x)=x# e #h(x)=(x-1)^-1#

Deixando #g(x)# sozinho e multiplicado pela derivada de #h(x)#, para o qual usaríamos o regra da cadeia.

#h'(x)=-(x-1)^-2*1#

onde #1# é a derivada do termo interno, #x-1#.

Então, deixamos #h(x)# sozinho e multiplique por #g'(x)#

#g'(x)=1#

Juntando tudo, temos

#f'(x)=-x(x-1)^-2+(x-1)^-1#

O que é equivalente a

#f'(x)=-x/(x-1)^2+1/(x-1)#

#=>f'(x)=((x-1)-x)/(x-1)^2#

#=>f'(x)=-1/(x-1)^2#