Como você encontra a raiz quadrada do 23?

#23# é um número primo, portanto, não é possível simplificar sua raiz quadrada, que é um número irracional um pouco menor que #5 = sqrt(25)#

Como tal, não é expressável na forma #p/q# para números inteiros #p, q#.

Podemos encontrar racional aproximações como se segue:

#23 = 5^2-2#

está na forma #n^2-2#

A raiz quadrada de um número da forma #n^2-2# pode ser expresso como uma fração contínua da forma padrão:

#sqrt(n^2-2) = [(n-1); bar(1, (n-2), 1, (2n-2))]#

No nosso exemplo #n=5# e encontramos:

#sqrt(23) = [4; bar(1,3,1,8)] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/(1+...)))))))#

Para usar isso para obter uma boa aproximação para #sqrt(23)# terminá-lo cedo, pouco antes de um dos #8#'s. Por exemplo:

#sqrt(23) ~~ [4;1,3,1,8,1,3,1] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/1)))))) = 1151/240 = 4.7958bar(3)#

Com uma calculadora, encontramos:

#sqrt(23) ~~ 4.79583152#

Portanto, nossa aproximação não é ruim.