Como você encontra a representação de séries de potência para a função #f (x) = 1 / ((1 + x) ^ 2) #?

By Série Binomial,
#1/{(1+x)^2}=(1+x)^{-2}=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n(n+1)x^n#

Vamos revisar a série binomial.
#(1+x)^{alpha}=sum_{n=0}^{infty}C(alpha,n)x^n#,
onde #C(alpha,n)# é um coeficiente binomial definido por
#C(alpha,n)={alpha(alpha-1)(alpha-2)cdot cdots cdot(alpha-n+1)}/{n!}#

Vamos primeiro os coeficientes binomiais para #f(x)=(1+x)^{-2}#.
Desde #alpha=-2#, seu coeficiente binomial parece
#C(-2,n)={-2(-2-1)(-2-2)cdot cdots cdot[-2-(n-1)]}/{n!}#
#={-2(-3)(-4)cdots[-(n+1)]}/{n!}#
fatorando tudo #-#está no numerador,
#={(-1)^n[2cdot3cdot4cdot cdots cdot(n+1)]}/{n!}={(-1)^n(n+1)!}/{n!}#
dividindo o numerador e o denominador por #n!#,
#=(-1)^n(n+1)#

Por isso, temos a série binomial
#1/{(1+x)^2}=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n(n+1)x^n#.