Como você encontra a série Maclaurin para # f (x) = 1 / (1-x) #?

Dado:

#f(x) = 1/(1-x)#

Parece-me que a maneira mais fácil de encontrar a série Maclaurin é basicamente começar a escrever o multiplicador para #(1-x)# que resulta em um valor de #1#...

Escreva:

#1 = (1-x)(...#

O primeiro termo do multiplicador será #1#, para obter #1# quando multiplicado, adicione-o ao lado direito:

#1 = (1-x)(1...#

Quando #-x# é multiplicado por #1# isso nos dará #-x# para cancelar. Portanto, o próximo termo no lado direito é #x#...

#1 = (1-x)(1+x...#

Quando #-x# é multiplicado por #x# isso nos dará #-x^2# para cancelar. Portanto, o próximo termo no lado direito é #x^2#...

#1 = (1-x)(1+x+x^2...#

Continuando dessa maneira, obtemos:

#1 = (1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+...)#

Assim:

#1/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+x^4+... = sum_(k=0)^oo x^k#

Note que se #abs(x) < 1# o restante fica menor cada vez que adicionamos um termo no lado direito. Portanto, a série Maclaurin converge para #abs(x) < 1#.