Como você encontra a série Taylor de #f (x) = cos (x) #?

A série de Taylor #f(x)=cosx# at #x=0# is
#f(x)=sum_{n=0}^infty (-1)^nx^{2n}/{(2n)!}#.

Vamos ver alguns detalhes.

A série Taylor para #f(x)# at #x=a# em geral, pode ser encontrado por
#f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(a)}/{n!}(x-a)^n#

Vamos encontrar a série Taylor para #f(x)=cosx# at #x=0#.

Tomando os derivativos,
#f(x)=cosx Rightarrow f(0)=cos(0)=1#
#f'(x)=-sinx Rightarrow f'(0)=-sin(0)=0#
#f''(x)=-cosx Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1#
#f'''(x)=sinx Rightarrow f'''(0)=sin(0)=0#
#f^{(4)}(x)=cosx Rightarrow f^{(4)}(0)=cos(0)=1#

Desde #f(x)=f^{(4)}(x)#, o ciclo de #{1,0,-1,0}# se repete.

Então, nós temos a série
#f(x)=1-{x^2}/{2!}+x^4/{4!}-cdots=sum_{n=0}^infty(-1)^n x^{2n}/{(2n)!}#

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