Como você encontra a série Taylor para #ln (x) # sobre o valor x = 1?

Em primeiro lugar, analisamos a fórmula da série Taylor, que é:

#f(x) = sum_(n=0)^oo f^((n))(a)/(n!)(x-a)^n #

que é igual a:

#f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)(x-a)^2)/(2!) + (f'''(a)(x-a)^3)/(3!) + ... #

Então você gostaria de resolver #f(x) = ln(x)# at #x=1# que eu assumo dizer centrado em #1# dos quais você faria #a=1#

Resolver:

#f(x) = ln(x)# e #f(1) = ln(1) = 0#

#f'(x) = 1/x# e #f'(1) = 1/1 = 1#

#f''(x) = -1/x^2# e #f''(1) = -1/(1)^2 = -1#

#f^((3))(x) = 2/x^3# e #f^((3))(1) = 2/(1)^3 = 2#

#f^((4))(x) = -((2)(3))/x^4# e #f^((4))(1) = -((2)(3))/(1)^4 = -(2)(3)#

Onde agora já podemos começar a ver um padrão se formando, então começamos a usar nossa fórmula (2):

#0 + 1(x-1) - (1(x-1)^2)/(2!) + (2(x-1)^3)/(3!) - ((2)(3)(x-1)^4)/(4!) .....#

e agora tente tentar ver como podemos escrever isso como uma série, o que obtemos: (começamos n = 1, pois nosso primeiro termo é 0)

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (((n-1)!)(x-1)^n)/(n!) #

O que pode simplificar para:

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (x-1)^n/n#

Deixe um comentário