Como você encontra as equações de ambas as linhas através do ponto (2, -3) tangentes à parábola # y = x ^ 2 + x #?

O gradiente da tangente a uma curva em qualquer ponto específico é dado pela derivada da curva naquele ponto. Então, para a nossa curva (a parábola), temos

# y=x^2+x #

Diferenciando wrt #x# Nós temos:

# dy/dx=2x+1 #

Deixei #P(alpha,beta)# qualquer ponto genérico na curva. Então o gradiente da tangente em P é dado por:

# m = 2alpha + 1 # (using the derivative)

E enquanto P está na curva, também temos:

# beta = alpha^2+alpha # (using the curve equation)

E assim a tangente em #P# passa por #(alpha,alpha^2+alpha)# e tem gradiente #2alpha + 1#, usando o formulário de ponto / inclinação #y−y_1=m(x−x_1)# a equação da tangente em #P# é;

#y - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(x-alpha)#

se essa tangente também passar #(2,-3)# então;

# -3 - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(2-alpha)#
# :. -3 - alpha^2-alpha = 3alpha-2alpha^2+2#
# :. alpha^2 -4alpha-5=0#
# :. (alpha-5)(alpha+1)=0#
# :. alpha =-1,5#

If #alpha =-1 => beta = 0 #, e a equação tangente se torna:

#y - 0 = (-1)(x+1)#
# :. y=-x-1 #

If #alpha =5 => beta = 30#, e a equação tangente se torna:

# y - 30 = (11)(x-5)#
# :. y - 30 = 11x-55#
# :. y = 11x-25#

Daí as equações das tangentes que passam #(2,-3)# estão
# y=-x-1 # e #y = 11x-25#

Podemos confirmar isso graficamente: