Como você encontra o limite de # (1 - 1 / x) ^ x # quando x se aproxima do infinito?

#lim_(xrarroo)(1-1/x)^x# tem a forma #1^oo# que é uma forma indeterminada.

Usaremos logaritmos e a função exponencial.

Agora,
#(1-1/x)^x = e^(ln(1-1/x)^x)#

Então, vamos investigar o limite do expoente.

#lim_(xrarroo)(ln(1-1/x)^x)#

Será conveniente observar que: #1-1/x = (x-1)/x#

#ln(1-1/x)^x = ln ((x-1)/x)^x = xln((x-1)/x)#

(Usando uma propriedade de logaritmos para desativar o expoente)

Agora como #xrarroo# nós obtemos o formulário # oo * ln1 = oo*0# Então, colocaremos o recíproco de um deles no denominador para que possamos usar a Regra de l'Hopital.

#xln((x-1)/x) = (ln((x-1)/x))/(1/x)# Agora, como #xrarroo# nós obtemos o formulário #0/0# Aplique a regra dos l'Hopitals:

A derivada mais tediosa é:
#d/dx(ln((x-1)/x)) = 1/((x-1)/x)*d/dx((x-1)/x)#

# = x/(x-1) * 1/x^2 = 1/(x(x-1))#

Então chegamos de #(ln((x-1)/x))/(1/x)#

para #(1/(x(x-1)))/(-1/x^2) = - x/(x-1)#

Agora provavelmente podemos encontrar esse limite sem o l'Hopital:

#lim_(xrarroo)(- x/(x-1)) = -1#

Resumo:

#(1-1/x)^x = e^(ln(1-1/x)^x)#

E como #xrarroo# o expoente vai para #-1#

Assim sendo:

#lim_(xrarroo)(1-1/x)^x = lim_(xrarroo)e^(ln(1-1/x)^x) = e^-1 = 1/e#