Como você encontra o limite de # (ln x) ^ (1 / x) # quando x se aproxima do infinito?

Começamos com um truque bastante comum ao lidar com expoentes variáveis. Podemos pegar o log natural de algo e depois aumentá-lo como expoente da função exponencial sem alterar seu valor, pois são operações inversas - mas isso nos permite usar as regras dos logs de maneira benéfica.

#lim_(xrarroo) (ln(x))^(1/x) = lim_(xrarroo) exp(ln((ln(x))^(1/x)))#

Usando a regra de expoente de logs:

#=lim_(xrarroo) exp(1/xln(ln(x)))#

Observe que é o expoente que varia conforme #xrarroo# para que possamos focar nele e mover a função exponencial para fora:

#=exp(lim_(xrarroo)(ln(ln(x))/x))#

Se você observar o comportamento da função logarítmica natural, perceberá que, como x tende ao infinito, o valor da função também tende ao infinito, embora muito lentamente. Quando tomamos #ln(ln(x))# temos uma variável dentro da função log que tende ao infinito muito lentamente, o que significa que temos uma função geral que tende ao infinito EXTREMAMENTE lentamente. O gráfico abaixo varia apenas até #x=1000# mas demonstra o crescimento extremamente lento de #ln(ln(x))# mesmo em comparação com o lento crescimento de #ln(x)#.

A partir desse comportamento, podemos inferir que #x# exibirá um crescimento assintótico muito mais rápido e, portanto, o limite do expoente será zero. #color(blue)("This means that overall limit = 1.")#

Também podemos abordar esse ponto com o governo de L'hopital. Precisamos que o limite esteja em forma indeterminada, ou seja, #0/0 or oo/oo# então verificamos que este é o caso:

#lim_(xrarroo)ln(ln(x)) = ln(ln(oo)) = ln(oo) = oo#

#lim_(xrarroo) x = oo#

Este é realmente o caso, então o limite se torna:

#=exp(lim_(xrarroo)((d/(dx)(ln(ln(x))))/(d/(dx)x)))#

Diferenciar #y = ln(ln(x))# reconhecer que temos #y(u(x))# e use o regra da cadeia

#(dy)/(dx) = (dy)/(du)(du)/(dx)#

#u = ln(x) implies (du)/(dx) = 1/x#

#y = ln(u) implies (dy)/(du) = 1/u = 1/(ln(x))#

#therefore (dy)/(dx) = 1/(ln(x))*1/x = 1/(xln(x))#

Derivado de #x# is #1#. O limite passa a ser:

#=exp(lim_(xrarroo)((1/(xln(x)))/1)) = exp(lim_(xrarroo)(1/(xln(x))))#

Abordamos que ambas as funções no denominador tendem ao infinito, portanto, temos

#exp(1/oo) = exp(0) = 1#