Como você encontra o modelo exponencial #y = ae ^ (bx) # que se encaixa nos dois pontos (0, 8), (1, 3)?

É bom que nos seja dado o ponto, #(0,8),# porque nos permite encontrar o valor de #a# antes de encontrarmos o valor de b:

Substitua o ponto #(0,8)# para dentro #y=ae^(bx)#:

#8=ae^(b(0))#

Qualquer número elevado à potência zero é 1:

#8 = a(1)#

#a = 8#

Use o ponto, #(1,3),# para encontrar o valor de b:

#3 = 8e^(b(1))#

#e^b= 3/8#

#b = ln(3/8)#

A equação final é:

#y = 8e^(ln(3/8)x)#

Freqüentemente, o mesmo problema é perguntado onde a coordenada x de um dos pontos não é 0. Quando isso acontece, você deve encontrar o valor de #b# antes de encontrar o valor de #a#; aqui está como você faz isso:

Dado, dois pontos, #(x_1,y_1)# e #(x_2,y_2)# e #y= ae^(bx)#

Escreva duas equações substituindo cada ponto na equação fornecida:

#y_1=ae^(bx_1)" [1]"#

#y_2=ae^(bx_2)" [2]"#

Divida a equação [2] pela equação [1]:

#y_2/y_1=(ae^(bx_2))/(ae^(bx_1))#

Por favor, observe que #a# é eliminado porque é cancelado por divisão:

#y_2/y_1=(cancel(a)e^(bx_2))/(cancel(a)e^(bx_1)) = (e^(bx_2))/(e^(bx_1))#

Quando você divide dois números com a mesma base, é o mesmo que subtrair os expoentes:

#y_2/y_1 = e^(bx_2-bx_1)#

Inverta a equação e use o logaritmo natural dos dois lados:

#ln(e^(bx_2-bx_1))= ln(y_2/y_1)#

Porque #ln# e #e# são inversas, apenas o expoente permanece à esquerda:

#bx_2-bx_1= ln(y_2/y_1)#

Fatore #b#:

#b(x_2-x_1)= ln(y_2/y_1)#

Divida os dois lados por #(x_2-x_1)#:

#b= ln(y_2/y_1)/(x_2-x_1)#

Agora que você tem o valor de #b#, você pode substituir seu valor na equação [1] ou na equação [2] para resolver o valor de #a#.

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