Como você encontra o valor exato de tan 5pi / 12?

Use a tabela trigonométrica de arcos especiais, círculo unitário, propriedade dos arcos complementares:
#tan ((5pi)/12) = tan ((6pi)/12 - pi/12) = tan (pi/2 - (pi)/12) = cot (pi/12) = 1/(tan (pi/12)# (1)
Primeiro, encontre #tan (pi/12)#. Chamar #tan (pi/12) = tan t# --->
#tan 2t = tan (pi/6) = 1/sqrt3#
Use a identidade trigonométrica: #tan 2t = (2tan t)/(1 - tan^2 t)#.
Nesse caso:
#(2tan t)/(1 - tan^2 t) = 1/sqrt3#
#tan^2 t + 2sqrt3tan t - 1 = 0#.
Resolva esta equação quadrática para tan t.
#D = d^2 = b^2 - 4ac = 12 + 4 = 16# -> #d = +- 4#
Existem raízes reais da 2:
#tan t = - sqrt3 +- 2#.
Desde #tan (pi/12)# é positivo, pegue o valor positivo.
#tan t = tan (pi/12) = 2 - sqrt3#.
Voltar à equação (1) ->
#tan ((5pi)/12) = 1/(tan (pi/12)) = 1/(2 -sqrt3) =#
Multiplique o numerador e o denominador por #(2 - sqrt3)#
#tan ((5pi)/12) = (2 + sqrt3)/(4 - 3) = 2 + sqrt3#