Como você encontra os pontos na elipse # 4x ^ 2 + y ^ 2 = 4 # que estão mais distantes do ponto # (1,0) #?

Deixei #(x,y)# ser um ponto na elipse #4x^2+y^2=4#.

#Leftrightarrow y^2=4-4x^2 Leftrightarrow y=pm2sqrt{1-x^2}#

A distancia #d(x)# entre #(x,y)# e #(1,0)# pode ser expresso como

#d(x)=sqrt{(x-1)^2+y^2}#

by #y^2=4-4x^2#,

#=sqrt{(x-1)^2+4-4x^2}#

multiplicando

#=sqrt{-3x^2-2x+5}#

Vamos maximizar #f(x)=-3x^2-2x+5#

#f'(x)=-6x-2=0 Rightarrow x=-1/3# (o único valor crítico)

#f''(x)=-6 Rightarrow x=-1/3# maximiza #f(x)# e #d(x)#

Desde #y=pm2sqrt{1-(-1/3)^2}=pm{4sqrt{2}}/3#,

os pontos mais distantes são #(-1/3,pm{4sqrt{2}}/3)#.

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