Como você encontra os próximos três termos no 2,5,10,17,26, ....?

Para encontrar um padrão nessa sequência, primeiro escreva a sequência original:

(i) #color(blue)(2),5,10,17,26#

Em seguida, escreva a sequência de diferenças entre os termos sucessivos dessa sequência:

(ii) #color(blue)(3),5,7,9#

Em seguida, escreva a sequência de diferenças dessa sequência:

(iii) #color(blue)(2),2,2#

Tendo alcançado uma sequência constante, há algumas coisas que podemos fazer:

(1) Podemos encontrar os próximos três elementos da sequência original, conforme solicitado.

Para fazer isso, adicione mais três #2#para a última sequência:

#color(blue)(2),2,2,color(red)(2),color(red)(2),color(red)(2)#

Em seguida, adicione mais três termos à sequência anterior usando os três novos elementos dessa sequência como diferenças:

#color(blue)(3),5,7,9,color(red)(11),color(red)(13),color(red)(15)#

Em seguida, adicione mais três termos à sequência original usando os três novos elementos dessas seqüências como diferenças:

#color(blue)(2),5,10,17,26,color(red)(37),color(red)(50),color(red)(65)#

(2) Podemos encontrar uma fórmula geral para então #n#termo #a_n# da sequência usando os termos iniciais #color(blue)(2)#, #color(blue)(3)#, #color(blue)(2)# das sequências (i), (ii) e (iii) como coeficientes:

#a_n = color(blue)(2)/(0!) + color(blue)(3)/(1!) (n-1) + color(blue)(2)/(2!) (n-1)(n-2)#

#=2+3n-3+n^2-3n+2 = n^2+1#