Como você encontra uma função cúbica #y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d # cujo gráfico possui tangentes horizontais nos pontos? (- 2,6) e (2,0)?

Responda:

#f(x)=3/16x^3-9/4 x+3#

Explicação:

Dado #f(x)=ax^3+bx^2+cx+d# a condição de tangência horizontal em pontos #{x_1,y_1},{x_2,y_2}# is
#(df)/(dx)f(x=x_1) = 3ax_1^2+2bx_1+c=0#
#(df)/(dx)f(x=x_2) = 3ax_2^2+2bx_2+c=0#
também temos na tangência horizontal
#f(x=x_1)=ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d = y_1#
#f(x=x_2)=ax_2^3+bx_2^2+cx_2+d = y_2#
então nós temos o sistema de equações
#
((12 a - 4 b + c = 0),
(12 a + 4 b + c = 0),
(-8 a + 4 b - 2 c + d = 6),
(8 a + 4 b + 2 c + d = 0))
#
Resolvendo para #a,b,c,d# obtemos
#((a = 3/16), (b = 0), (c = -9/4), (d = 3))#

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