Como você encontra uma representação de série de potência para # 1 / (1-x) ^ 2 # e qual é o raio de convergência?

Nos é dado

#f(x)=1/(1-x)^2#

Isso é bastante semelhante ao #1/(1-x)#, para o qual conhecemos uma série de potências:

#1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k#

O raio de convergência para esta série de potências é #x in (-1,1)#.

Embora fosse fácil dizer que

#1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2#

Esta não é uma representação válida de uma série de potências.

Geralmente, algumas séries de potência surgem de derivados. Vale a pena tentar também.

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]#

Pelo regra do quociente,

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2#

As #"d"/("d"x) x^k = kx^(k-1)#:

#"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

Daí a representação de séries de poder de #f(x)# is

#1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

com raio de convergência #x in (-1,1)#.