Como você escreve a série Taylor para #f (x) = coshx #?

Responda:

#f(x) ~~1+x^2/2+x^4/24+x^6/720+...# para valores de #x# perto de #0#.

Explicação:

A série Taylor de uma função é definida como:

#sum_(n=0)^oof^n(x_0)/(n!)(x-x_0)^n#

Onde o #n# em apenas #f^n(x_0)# denota o #n#th derivada de #f(x)# e não um poder.

Se quiséssemos encontrar, por exemplo, a série de Taylor de #cosh(x)# por aí #x=0# então nós estabelecemos #x_0=0# e use a definição acima. É melhor colocar duas colunas, uma com a derivada e a outra avaliando o valor de #f^n(x_0)# no ponto em que queremos expandir.

  • #f(x) = cosh(x)# #f(0) =1#
  • #f'(x) = sinh(x)# #f'(0)=0#
  • #f''(x) = cosh(x)# #f''(0)=1#
  • #f'''(x) = sinh(x)# #f'''(0)=0#
  • #f^(IV)(x)=cosh(x)# #f^(IV)(0)=1#
  • #f^(V)(x) = sinh(x)# #f^(V)(0)=0#
  • #f^(VI)(x)=cosh(x)# #f^(VI)(0) = 1#

Poderíamos continuar essas colunas indefinidamente, mas devemos obter uma boa aproximação aqui.

Agora temos nossos valores para #f^n(0)# então tudo o que resta é colocá-los na soma acima e obtemos:

#1/(0!)(x-0)^0+0/(1!)(x-0)^1+1/(2!)(x-0)^2+0/(3!)(x-0)^3+1/(4!)(x-0)^4+0/(5!)(x-0)^5+1/(6!)(x-0)^6+...#

Simplificar esta série nos dá:

#1+x^2/2+x^4/24+x^6/720+...#

E assim temos os quatro primeiros termos diferentes de zero para #cosh(x)#, (mas lembre-se de que a série continua infinitamente). Isso nos dará uma boa aproximação para valores de #cosh(x)# perto #0#. Se você precisar de mais precisão, precisará encontrar mais derivativos e continuar construindo a série.

Além disso, se você deseja expandir a série em torno de um valor de #x_0# que não é 0, não será tão limpo quanto isso.

Deixe um comentário