Como você fatora # x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 #?

Responda:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x^2+(1/2+sqrt(5)/2)x+1)(x^2+(1/2-sqrt(5)/2)x+1)#

Explicação:

Este quártico tem quatro zeros, que são o complexo não real #5#th raízes de #1#, como podemos ver em:

#(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^5-1#

Portanto, se quisermos fatorar esse polin√īmio como um produto de fatores lineares com coeficientes complexos, poder√≠amos escrever:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x-(cos((2pi)/5) + i sin((2pi)/5))) * (x-(cos((4pi)/5) + i sin((4pi)/5))) * (x-(cos((6pi)/5) + i sin((6pi)/5))) * (x-(cos((8pi)/5) + i sin((8pi)/5)))#

Uma abordagem algébrica mais limpa é observar que, devido à simetria dos coeficientes, se #x=r# é um zero de #x^4+x^3+x^2+x+1#, Em seguida #x=1/r# também é um zero.

Portanto, há uma fatoração na forma:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x-r_1)(x-1/r_1)(x-r_2)(x-1/r_2)#

#=(x^2-(r_1+1/r_1)x+1)(x^2-(r_2+1/r_2)x+1)#

Então, vamos procurar uma fatoração:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)#

#=x^4+(a+b)x^3+(2+ab)x^2+(a+b)x+1#

Equacionando coeficientes, encontramos:

#a+b = 1#

#2+ab=1#, so #ab = -1# and #b=-1/a#

Substituindo #b=-1/a# in #a+b=1# Nós temos:

#a-1/a = 1#

Conseq√ľentemente:

#a^2-a-1 = 0#

usando o Fórmula quadrática, podemos deduzir:

#a = 1/2 +- sqrt(5)/2#

Como nossa derivação foi simétrica em #a# e #b#, uma dessas raízes pode ser usada para #a# e o outro para #b#, encontrar:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x^2+(1/2+sqrt(5)/2)x+1)(x^2+(1/2-sqrt(5)/2)x+1)#

Se quisermos fatorar mais, use a fórmula quadrática em cada um desses fatores quadráticos para encontrar os fatores lineares com coeficientes complexos.