Como você integra # 1 / (x ^ 2 + 4) #?

Nosso objetivo deve ser tornar esse espelho a integral arctangente:

#int1/(u^2+1)du=arctan(u)+C#

Para obter o #1# no denominador, comece fatorando:

#int1/(x^2+4)dx=int1/(4(x^2/4+1))dx=1/4int1/(x^2/4+1)dx#

Note que nós queremos #u^2=x^2/4#então deixamos #u=x/2#, o que implica que #du=1/2dx#.

#1/4int1/(x^2/4+1)dx=1/2int(1/2)/((x/2)^2+1)dx=1/2int1/(u^2+1)du#

Esta é a integral do arco tangente:

#1/2int1/(u^2+1)du=1/2arctan(u)+C=1/2arctan(x/2)+C#