Como você integra # csc ^ 3x #?

Nós temos:

#I=intcsc^3xdx#

Nós vamos usar Integração por partes. Primeiro, reescreva a integral como:

#I=intcsc^2xcscxdx#

Como a integração por peças assume a forma #intudv=uv-intvdu#, deixei:

#{(u=cscx" "=>" "du=-cotxcscxdx),(dv=csc^2xdx" "=>" "v=-cotx):}#

Aplicando integração por partes:

#I=-cotxcscx-intcot^2xcscxdx#

Através da identidade pitagórica, escreva #cot^2x# as #csc^2x-1#.

#I=-cotxcscx-int(csc^2x-1)(cscx)dx#

#I=-cotxcscx-intcsc^3xdx+intcscxdx#

Observe que #I=intcsc^3xdx# e #intcscxdx=-ln(abs(cotx+cscx))#.

#I=-cotxcscx-I-ln(abs(cotx+cscx))#

Adicione a integral original #I# para os dois lados.

#2I=-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx))#

Resolva para #I# e adicione a constante de integração:

#I=(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C#