Como você integra # csc ^ 3x #?

Responda:

#(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C#

Explica├ž├úo:

N├│s temos:

#I=intcsc^3xdx#

N├│s vamos usar Integra├ž├úo por partes. Primeiro, reescreva a integral como:

#I=intcsc^2xcscxdx#

Como a integra├ž├úo por pe├žas assume a forma #intudv=uv-intvdu#, deixei:

#{(u=cscx" "=>" "du=-cotxcscxdx),(dv=csc^2xdx" "=>" "v=-cotx):}#

Aplicando integra├ž├úo por partes:

#I=-cotxcscx-intcot^2xcscxdx#

Atrav├ęs da identidade pitag├│rica, escreva #cot^2x# as #csc^2x-1#.

#I=-cotxcscx-int(csc^2x-1)(cscx)dx#

#I=-cotxcscx-intcsc^3xdx+intcscxdx#

Observe que #I=intcsc^3xdx# e #intcscxdx=-ln(abs(cotx+cscx))#.

#I=-cotxcscx-I-ln(abs(cotx+cscx))#

Adicione a integral original #I# para os dois lados.

#2I=-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx))#

Resolva para #I# e adicione a constante de integra├ž├úo:

#I=(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C#