Como você integra #int arctan (1 / x) # usando a integração por partes?

Responda:

Veja a seção de explicação abaixo.

Explicação:

#int arctan(1/x) dx#

Deixei #theta = arctan(1/x)#.

Isto torna #tan theta = 1/x#, assim #cot theta = x#.

Além disso, #dx = -csc^2 theta " " d theta#

A integral se torna:

#int theta (-csc^2 theta) d theta#

Deixei #u = theta# e #dv = (-csc^2 theta) d theta#

So #du = d theta# e #v = cot theta#

#uv-int v du = theta cot theta - int cot theta d theta#

A integral pode ser encontrada por substituição. Nós temos
#theta cot theta -ln abs sin theta +C#

utilização #cot theta = x# e alguma trigonometria, nós sindimos #sin theta = 1/sqrt(x^2+1)#

portanto

#int arctan(1/x) dx = x arctan (1/x)-ln(1/sqrt(x^2+1))+C#

# = x arctan(1/x)+1/2 ln(x^2+1) +C#

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