Como você integra #int [(Sec (x)) ^ 5] dx #?

Escreva o integrando como: #sec^5(x) = sec^2(x) sec^3(x)# e integrar por partes, considerando que:

#d/dx (tanx) = sec^2(x) #,

Sun:

#int sec^5x dx = int sec^2(x) sec^3(x)dx#

#int sec^5x dx = int sec^3(x)d(tanx)#

#int sec^5x dx = tanxsec^3x - int tanx d(sec^3(x))#

e como:

#d/dx (sec^3(x)) = 3sec^2(x) d/dx sec(x) = 3sec^3(x) tanx#

temos:

#int sec^5x dx = tanxsec^3x - 3int tan^2x sec^3x dx#

use agora a identidade trigonométrica:

#tan^2 theta = sin^2 theta/cos^2 theta = (1-cos^2 theta)/cos^2theta = sec^2theta -1#

Ter:

#int sec^5x dx = tanxsec^3x - 3int (sec^2x -1) sec^3x dx#

e usando a linearidade da integral:

#int sec^5x dx = tanxsec^3x + 3int sec^3x dx -3 int sec^5x dx#

A integral agora aparece nos dois lados da equação e podemos resolver para obter uma fórmula de redução:

#int sec^5x dx = 1/4(tanxsec^3x + 3int sec^3x dx)#

Resolva agora a integral resultante com o mesmo procedimento:

#int sec^3x dx = int secx d(tanx)#

#int sec^3x dx = tanxsecx - int tanx d(secx)#

#int sec^3x dx = tanxsecx - int tan^2x secx dx#

#int sec^3x dx = tanxsecx - int (sec^2x-1) secx dx#

#int sec^3x dx = tanxsecx + int secx dx - int sec^3x dx#

#int sec^3x dx = 1/2(tanxsecx + int secx dx)#

Para resolver a integral resultante, observe que:

#d/dx (tanx + secx) = sec^2x +secx tanx = secx(tanx+secx)#

dividindo e multiplicando o integrando por #(secx+tanx)#:

#int secx dx = int (secx(secx+tanx))/(secx+tanx) dx#

#int secx dx = int (d(secx+tanx))/(secx+tanx)#

#int secx dx = ln abs(secx+tanx) +C#

Juntando tudo:

#int sec^5x dx = (2tanxsec^3x+ 3tanxsecx + 3ln abs(secx+tanx))/8 +C#