Como você prova que #cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny #?

#cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#
pode ser demonstrado mostrando primeiro que
#cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
e depois fazendo a conversão usando o princípio CAST conforme indicado.

1. Tenho certeza de que existem outras maneiras de fazer isso; mas é isso que eu criei. (é bem longo).
2. Minhas desculpas por usar #a# e #b# em vez de #x# e #y#; Desenhei os diagramas abaixo antes de verificar quais variáveis ​​foram usadas na solicitação.

Parte 1: Show #cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#

Um triângulo XQP foi construído ao longo da hipotenusa do triângulo XYQ com ângulo #a# acima do ângulo #b# como no diagrama.

O segmento de linha XP é identificado como o comprimento da unidade para todas as medições neste sistema.

Um retângulo é construído com a base XY estendendo a linha de Y a Q até chegar a um ponto Z onde PZ é paralelo ao fundo (XY) (a conclusão do retângulo estabelece o ponto W)

Dentro do triângulo XQP é claro que (desde #|XP| = 1#)
#|XQ| = cos(a)#
e
#|PQ| = sin(a)#

Portanto, no triângulo XYQ
#|XY| = cos(b)*cos(a)# (#cos(b)# ampliado pelo #cos(a)#)

Da mesma forma no triângulo QZP
#|PZ| = sin(a)*sin(b)#

Como WZ é paralelo a XY (por construção)
ângulo XPW = ângulo PXY = #a+b#
e
#|WP| = cos(a+b)#

Do diagrama
#cos(a+b) + sin(a)*sin(b) = cos(a)*cos(b)#

or
#cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#

Parte 2 : Mostre que se #cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
então #cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#

#cos(a-b) = cos(a + (-b))#
para que possamos substituir para obter
#cos(a-b) = cos(a)*cos(-b) - sin(a)*sin(-b)#

Pelo diagrama do quadrante CAST para trig. sinais (abaixo), podemos ver que
#cos(-b) = cos(b)#
e
#sin(-b) = -sin(b)#

Portanto, podemos escrever:

#cos (a - b) = (cos(a) * cos(b)) - (sin(a) * (-sin(b) ))#

or
#cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#