Como você provará que o trabalho realizado no processo isotérmico é sempre maior que o processo adiabático?

Suponho que você queira um gás ideal. É muito mais difícil para um gás real ...

Vamos nos concentrar em reversível trabalho, porque é o trabalho máximo que pode ser feito. É a única comparação justa, porque há uma infinidade de combinações de caminhos de trabalho irreversíveis.

O isotérmico e adiabático equações ideais de estado de gás são, respectivamente#""^(‡)#:

#PV = "const"#

#PV^gamma = "const"#, #" "##gamma = barC_P/barC_V = (barC_V + R)/(barC_V) = 1 + R/(barC_V)#

#""^(‡)#The full derivation for the #PV# expressions is shown here!

Para comparar as quantidades de trabalho fotovoltaico, examinamos a inclinação, #(dP)/(dV)# nos dois cenários. O trabalho reversível é a área sob a curva de um gráfico fotovoltaico, portanto, a inclinação mais acentuada daria uma quantidade menor de trabalho para o mesmo #DeltaV#.

Das formas diferenciais:

Isotérmico:

#d(PV) = PdV + VdP = 0#

#=># #color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_T = -P/V" ")|)#

Adiabático:

#d(PV^gamma) = P cdot d(V^gamma) + V^gamma dP#

#= P cdot gammaV^(gamma-1)dV + V^gamma dP = 0#
(where we had used the chain rule on the first term to recover #dV#)

Dividindo por #V^gamma# dá:

#=> gammaP/VdV + dP = 0#

#=> dP = -gammaP/VdV#

Como resultado, para um adiabático processo,

#color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_q = -gamma P/V " ")|)#

Aqui temos um #gamma# termo que é sempre maior que #1#.

Isso nos diz que, se o gás está fazendo um trabalho isotérmico, a inclinação é geralmente menos íngreme. Portanto, o trabalho realizado (a área sob a curva PV) é tipicamente maior.

Aqui está um gráfico de um problema que fiz em Levine:

Se o gás estiver em expansão, segue a curva para baixo. Se o gás estiver comprimindo, segue a curva para cima. De qualquer maneira, a área sob a curva é o trabalho reversível realizado.