Como você resolve # 2cos ^ 2x + 3cosx = -1 #?

Para simplificar, deixamos #u=cosx#:
#2cos^2x+3cosx=-1#
#2u^2+3u=-1#
#2u^2+3u+1=0#
E você notará que podemos dividir o meio termo e fatorar
#2u^2+2u+u+1=0#
#2u(u+1)+(u+1)=0#
#(2u+1)(u+1)=0#
E agora fica óbvio (por um processo formalmente conhecido como Teorema do Fator Nulo) que:
#2u+1=0# OR #u+1=0# (eles não podem ser verdadeiros ao mesmo tempo, é um ou outro)

Resolvendo para cada um:

#2u+1=0#
#2u=-1#
#u=-1/2#
#cosx=-1/2#
E se você resolver o acima usando sua calculadora, obtém # x = -30 ^ o

Quanto ao outro caso:
#u+1=0#
#u=-1#
#cosx=-1#
E, usando uma calculadora, você obtém: #x=180^o#