Como você resolve a identidade #cos 2x + cos 4x = 0 #?

Aplique a identidade trigonométrica:# cos 4x = 2cos^2 2x - 1.#
#f(x) = cos 2x + 2cos^2 2x - 1 = 0#
Chame cos 2x = t, temos que resolver a equação quadrática:

2t ^ 2 + t - 1 = 0

Como (a - b + c) = 0, o atalho fornece: #t = - 1# e #t = -c/a = 1/2#

a. #cos 2x = t = -1 #-> #2x = +- pi# -> #x = +- pi/2#

b. #cos 2x = t = 1/2# -> #2x = +- pi/3# -> #x = +- pi/6#
Dentro do intervalo #(-pi, pi),# existem respostas 6:
#+- pi/2 ; +- pi/3 and +- pi/6#
Verifique pela calculadora:
#x = pi/2# -> cos 2x = cos pi = -1; cos 4x = cos 2pi = 1 ->
-> f (x) = -1 + 1 = 0. Está bem
#x = pi/6# -> #cos 2x = cos pi/3 = 1/2# ; #cos 4x = cos (2pi)/3 = -1/2#
-># f(x) = 1/2 - 1/2 = 0.# OK
#x = pi/3# -> cos 2x = cos (2pi) / 3 = 1 / 2; cos 4x = cos (4pi) / 3 = - 1 / 2
f (x) = 1 / 2 - 1 / 2 = 0. Está bem