Como você simplifica a raiz quadrada do 95?

Responda:

#sqrt(95) ~~ 18495361/1897584 ~~ 9.746794344809#

já está na forma mais simples.

Explicação:

A principal fatoração de #95# é:

#95 = 5 * 19#

Como isso não contém fatores quadrados, #sqrt(95)# já está na forma mais simples. Não há fatores que possam ser movidos para fora do radical.

Como uma fração contínua, encontramos:

#sqrt(95) = [9;bar(1,2,1,18)] = 9+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+...))))))))#

Daí uma aproximação racional eficiente para #sqrt(95)# é:

#[9;1,2,1] = 9+1/(1+1/(2+1/1)) = 39/4#

Para uma maneira divertida de encontrar melhores aproximações para #sqrt(95)#, considere o quadrático com zeros #39+4sqrt(95)# e #39-4sqrt(95)#:

#(x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95)) = (x-39)^2-1520#

#color(white)((x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95))) = x^2-78x+1#

Com base nisso, defina uma sequência recursivamente por:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 78a_(n+1)-a_n) :}#

Os primeiros termos dessa sequência são:

#0, 1, 78, 6083, 474396, 36996805#

A relação entre termos sucessivos convergirá rapidamente para #39+4sqrt(95)#.

Portanto, encontramos:

#sqrt(95) ~~ 1/4(36996805/474396 - 39) = 1/4(18495361/474396) = 18495361/1897584#

#color(white)(sqrt(95)) ~~ 9.746794344809#

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