Como vocĂȘ simplifica # i ^ 38 #?

Responda:

#i^38 = -1#

Explicação:

Vamos ver o que acontece se calcularmos qualquer poder de #i#:

#i = i#
#i^2 = -1#
#i^3 = i^2 * i = -1 * i = -i#
#i^4 = i^2 * i^2 = -1 * (-1) = 1#

#i^5 = i^4 * i = 1 * i = i#

... e assim por diante, a sequĂȘncia #i#, #-1#, #-i# e #1# se repete.

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Como vocĂȘ pode determinar para qual serve #i^38#?
Vamos começar com fatoração #38 = 4*9 + 2#:

#i^38 = i^(4*9+2) = i^(4*9) * i^2 = (i^4)^9 * i^2 = 1^9 * (-1) = -1#

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Permitam-me tambĂ©m mostrar uma maneira geral de determinar #i^n# para qualquer nĂșmero inteiro positivo #n#.

Existem quatro possibilidades:

  • if #n# can be divided by #4#, then #i^n = 1#
  • if #n# can be divided by #2# (but not by #4#), then #i^n = -1#
  • if #n# is an odd number but #n-1# can be divided by #4#, then #i^n = i#
  • if #n# is an odd number but #n+1# can be divided by #4#, then #i^n = -i#

Descrito de maneira mais formal,

#i^n = {(1, " " n= 4k),(i, " " n = 4k + 1),(-1, " " n = 4k + 2),(-i, " " n= 4k + 3) :}#

for #k in NN_0#.