Como você simplifica #sin (tan ^ -1 (x)) #?

Sabendo que

#sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1#

Dividimos os dois lados por #sin^2(theta)# então nós temos

#1 + cot^2(theta) = csc^2(theta)#

Ou,

#1 + 1/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)#

Tomando o múltiplo menos comum que temos

#(tan^2(theta) + 1)/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)#

Invertendo os dois lados, temos

#sin^2(theta) = tan^2(theta)/(tan^2(theta) + 1)#

Então dizemos que #theta = arctan(x)#

#sin^2(arctan(x)) = tan^2(arctan(x))/(tan^2(arctan(x)) + 1)#

Sabendo que #tan(arctan(x)) = x#

#sin^2(arctan(x)) = x^2/(x^2 + 1)#

Então pegamos a raiz quadrada de ambos os lados

#sin(arctan(x)) = +-sqrt(x^2/(x^2+1)) = +-|x|/sqrt(x^2+1)#

Verificando o alcance do arco tangente, vemos que durante ele o seno é sempre positivo, então temos

#sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)#