Como você usa a diferenciação para encontrar uma representação de série de potência para #f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 #?

Primeiro, observe que #frac{1}{(1+x)^2}=(1+x)^(-2)=frac{d}{dx}(-(1+x)^{-1})=frac{d}{dx}(-frac{1}{1-(-x)})#.

Agora use a expansão da série Power #frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots#, que converge para #|x|<1#, multiplique tudo por #-1#e substitua todos os "#x#é "com"#-x#é para conseguir

#-frac{1}{1-(-x)}=-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots#, que converge para #|-x|<1 Leftrightarrow |x|<1#.

Por fim, diferencie esse termo a termo (justificado no interior do intervalo de convergência) para obter

#frac{1}{(1+x)^{2}}=frac{d}{dx}(-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots)#

#=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+cdots#.

Isso também converge para #|x|<1#.

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