Como você usa as fórmulas de ângulo duplo ou meio ângulo para derivar cos (4x) em termos de cos x?

Sabendo que
#cos(2u) = cos^2(u) - sin^2(u) = 1 - 2sin^2(u)#
#sin(2u) = 2sin(u)cos(u)#

Assim,

#cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)#
#1 - 2sin^2(2x) = 1 - 2*(2sin(x)cos(x))^2#

So #cos(4x) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x)#

Sabemos que a constante é irrelevante para derivativos, então podemos dizer que para a função #y = f(x)#, temos

#y = -4sin^2(x)cos^2(x)#

Assim, você pode diferenciar da maneira que quiser, usando logaritmos (depois de tirar os quatro menos do caminho, lembrando-se de segui-lo mais tarde), temos

#ln(y) = 2ln(sin(x)) + 2ln(cos(x))#
#y^'/y = 2cos(x)/sin(x) + 2(-sin(x))/cos(x) #
#y^' = 4sin(x)cos^3(x) -4sin^3(x)cos(x)#

Lembrando de colocar o -4 de volta

#y^' = -16sin(x)cos^3(x) +16sin^3(x)cos(x)#