Como vocĂȘ verifica a identidade #sin (pi / 2 + x) = cosx #?

para a prova "verdadeira", vocĂȘ precisa usar a matriz, mas isso Ă© aceitĂĄvel:

#sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)#

#sin(pi/2+x) = sin(pi/2)*cos(x)+cos(pi/2)*sin(x)#

#sin(pi/2) = 1#
#cos(pi/2) = 0 #

EntĂŁo nĂłs temos :

#sin(pi/2+x) = cos(x)#

Como esta resposta Ă© muito Ăștil para os alunos, aqui a demonstração completa para obter

#sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)#

(nĂŁo leia isso se vocĂȘ nĂŁo Ă© fĂŁ de matemĂĄtica)

nĂșmeros complexos podem ser escritos na forma trigonomĂ©trica

#z = (cos(x) + isin(x))# # -> (1)#

multiplicando #z# by #i# VocĂȘ tem

#iz = -sin(x) + icos(x)#

Porque #i^2 = i*i = -1#

sĂł para vocĂȘ saber, multiplicando nĂșmeros complexos por #i# Ă© o mesmo para fazer uma rotação 90 ° no plano complexo

Outra maneira de fazer uma rotação 90 ° é derivar #z#

#z' = -sin(x) + icos(x) #

temos

#z' = iz#

#(z')/z = i#

integrando ambas as partes

#ln(z) = ix + C#

#z = e^(ix)e^(C)#

tomar #x = 0# e comparando com #(1)# vocĂȘ vĂȘ que C deve ser #= 0#

so #z = e^(ix)#

#e^(ix) = cos(x)+isin(x)#

multiplicando por outro nĂșmero complexo

#e^(ix)e^(ix_0) = (cos(x)+isin(x))(cos(x_0)+isin(x_0))#

#e^(ix)e^(ix_0) = e^(i(x+x_0)#

#e^(i(x+x_0)) = cos(x+x_0)+isin(x+x_0)#

#(cos(x+x_0)+isin(x+x_0) = (cos(x)+isin(x))(cos(x_0)+isin(x_0))#

desenvolver

#(cos(x+x_0)+isin(x+x_0) = cos(x)cos(x_0)+icos(x)sin(x_0) + isin(x)cos(x_0) - sin(x)sin(x_0)#

parte real da esquerda deve ser igual Ă  parte real do idem da direita para a parte imaginĂĄria

#sin(x+x_0) = cos(x)sin(x_0) + sin(x)cos(x_0)#

Nota :

#sin(x-x_0) = -cos(x)sin(x_0) + sin(x)cos(x_0)#

Porque #sin(-x)= -sin(x)# e #cos(-x) = cos(x)#