Dado f (x) = (e ^ -x) • sinx em [-pi, pi]. Identifique as intercepções x e y, extremos locais e pontos de inflexão. Use essas informações para esboçar o gráfico. Você pode ajudar a encontrar os extremos locais?

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#f(x)=e^(-x)sinx#, #(-pi <= x <= pi)#

Montamos #y=0# para encontrar o #x#-intercept (s):

#e^(-x)sinx=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#, Isso está fora do nosso intervalo.

#sinx=0, :. x=-pi, 0, pi#

Montamos #x=0# para encontrar o #y#-intercept (s):

#y=e^(-0)sin0=0#

Vamos representar graficamente a função:

Como pode ser visto, o #x# e #y# interceptações são verificadas.

Para encontrar os extremos locais, precisamos pegar a primeira derivada da função e defini-la igual a #0#. Como nossa função é o produto de duas outras funções, usamos o Regra do produto:

#dy/dx=e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)=e^(-x)cosx-e^(-x)sinx#

#e^(-x)cosx-e^(-x)sinx=0#

#e^(-x)(cosx-sinx)=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#, Isso está fora do nosso intervalo.

#cosx-sinx=0#

#cosx=sinx#

Dividimos os dois lados por #cosx#:

#tanx=1, :. x=arctan(1), :. x=pi/4, (-3pi)/4#

Sem olhar para o gráfico, teríamos que realizar um primeiro teste derivado tentando valores de #x# à esquerda e direita de #pi/4# e #(-3pi)/4# para determinar onde a função está diminuindo e aumentando. Isso nos diria qual das soluções extremas é um mínimo local e qual é o máximo local.

Mas o gráfico mostra claramente que #x=(-3pi)/4# é o mínimo e #x=pi/4# é o máximo. Agora, conectamos cada um deles à função para encontrar seu #y#-coordenadas:

#x=-(3pi)/4, :. y=e^(-(-(3pi)/4))sin(-(3pi)/4)=e^((3pi)/4)sin(-(3pi)/4)=10.55(-sqrt2/2)=-7.46#

#x=pi/4, :. y=e^(-pi/4)sin(pi/4)=0.46(sqrt2/2)=0.33#

Mínimo local #(-2.36, -7.46)#

Máximo local #(0.79, 0.33)#

Para encontrar o (s) ponto (s) de inflexão, precisamos pegar a segunda derivada da função e defini-la igual a #0#:

#(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx+(-e^(-x)cosx)-[(e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)]#

#(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-e^(-x)cosx+e^(-x)sinx#

#(d^2y)/dx^2=cancelcolor(red)(-e^(-x)sinx)-e^(-x)cosx-e^(-x)cosxcancelcolor(red)(+e^(-x)sinx)#

#(d^2y)/dx^2=-2e^(-x)cosx#

#-2e^(-x)cosx=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#, Isso está fora do nosso intervalo.

#cosx=0, :. x=pi/2, -pi/2#

Estes são o #x#-coordenadas dos dois pontos de inflexão. Vamos conectá-los à função para obter #y#-coordenadas:

#x=-pi/2, :. y=e^(-(-pi/2))sin(-pi/2)=e^(pi/2)sin(-pi/2)=4.81(-1)=-4.81#

#x=pi/2, :. y=e^(-pi/2)sin(pi/2)=0.21(1)=0.21#

Ponto de inflexão-1, #(-1.57,-4.81)#

Ponto de inflexão-2, #(1.57,0.21)#

Os dois extremos e dois pontos de inflexão são verificados em nosso gráfico.