Encontre a dimensão do retângulo da maior área que pode ser inscrita em um círculo de raio r?

Vamos desenhar um diagrama:

Como você pode ver no diagrama, por pitágoras, #x^2 + y^2 = r^2#ou #y^2 = r^2 - x^2 -> y = sqrt(r^2 - x^2)#

A área será #A = 2x(2y) = 2x(2sqrt(r^2 - x^2)) = 4xsqrt(r^2 - x^2)#

Se tomarmos a derivada disso com relação a #x# obtemos

#A' = 4sqrt(r^2- x^2) + (4x(-2x))/(2sqrt(r^2 - x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (8x^2)/(2sqrt(r^2 -x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4(r^2 - x^2) - 4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4r^2 - 8x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

Isso terá números críticos quando

#0 = 4r^2 - 8x^2#

#8x^2 = 4r^2#

#x^2 = 1/2r^2#

#x = 1/sqrt(2)r#

O valor de #y# será dado por #y = sqrt(r^2 - (1/sqrt(2)r)^2) =sqrt(1/2r^2) = 1/sqrt(2)r#

Assim, a forma será um quadrado de dimensões #1/sqrt(2)r# by #1/sqrt(2)r#, dando uma área máxima de #1/2r^2#

Espero que isso ajude!