Encontre a equação da linha através do ponto # (3, 5) # que corta a menor área do primeiro quadrante?

Responda:

#5x+3y-30 = 0#

Explicação:

Eu acho que será a linha através #(0, 10)# e #(6, 0)# cortando um triângulo de área #30# de Q1.

Por quê?

Se o ponto dado foi #(1, 1)# então a área mínima seria para uma linha #(0, 2)# e #(2, 0)#. Em seguida, estique esta solução horizontalmente (por um fator de #3#) e verticalmente (por um fator de #5#).

Vamos verificar usando um pouco de álgebra e cálculo ...

Suponha que a linha passe através #(t, 0)# e #(3, 5)#, Onde #t > 3#.

Em seguida, o #y# interceptação está em #(0, (5t)/(t-3))#

Portanto, a área do triângulo é:

#1/2 t*(5t)/(t-3) = (5t^2)/(2(t-3))#

Então:

#d/(dt) (5t^2)/(2(t-3)) = (5t)/(t-3) - (5t^2)/(2(t-3)^2)#

#color(white)(d/(dt) (5t^2)/(2(t-3))) = (5t)/(2(t-3)^2)(2(t-3)-t)#

#color(white)(d/(dt) (5t^2)/(2(t-3))) = (5t)/(2(t-3)^2)(t-6)#

Uma vez que exigimos #t > 3#, o zero da derivada que vemos é quando #t=6#, confirmando a solução geométrica proposta acima.

Podemos escrever a equação desta linha como:

#5x+3y-30 = 0#

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