Encontre dois números positivos que atendam aos requisitos fornecidos. A soma do primeiro número ao quadrado e o segundo número é 60 e o produto é um máximo?

Deixe os números serem #x# e #y#.

#x^2 + y = 60 -> y = 60 - x^2#

O produto será #P = xy#. Substituindo a primeira equação, obtemos:

#P = (60 - x^2)x#

#P = -x^3 + 60x#

Agora encontramos a derivada com relação a #x#.

#P' = -3x^2 + 60#

Agora determine os números críticos, que ocorrerão quando #P' = 0#.

#0 = -3x^2 + 60#

#0 = -3(x^2 - 20)#

#x = +- sqrt(20)#

#x= +- 2sqrt(5)#

Devemos verificar para ter certeza #x = + 2sqrt(5)# é realmente um máximo.

Ponto de teste #1#: #x = 4#

#P'(4) = -3(4)^2 + 60 = "positive"#

Ponto de teste #2#:#x = 5#

#P'(5) = -3(5)^2 + 60 = "negative"#

Ao aumentar / diminuir regras, podemos concluir que #2sqrt(5)# é um máximo local (esta função não tem um máximo absoluto).

Isto significa que #y = 60 - (2sqrt(5))^2 = 40#.

Espero que isso ajude!