Existe um número "a" tal que exista a equação abaixo? Se sim, qual é o valor de "a" e seu limite.

#x^2+x-2 = (x+2)(x-1)#

Portanto, o denominador contém exatamente um fator #(x+2)#

Então, para que #(3x^2+ax+a+3)/(x^2+x-2)# tem um limite como #x->-2#, o único requisito é que:

#3x^2+ax+(a+3)" "# is divisible by #(x+2)#

Deixei #f(x) = 3x^2+ax+(a+3)#

Isso é divisível por #(x+2)# se e apenas se #f(-2) = 0#

Substituindo #x=-2# temos:

#f(-2) = 3(color(blue)(-2))^2+a(color(blue)(-2))+a+3#

#color(white)(f(-2)) = 12-2a+a+3#

#color(white)(f(-2)) = 15 - a#

Então exigimos #a=15#

Com esse valor de #a#:

#f(x) = 3x^2+15x+18 = 3(x^2+5x+6) = 3(x+2)(x+3)#

#(3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = (3(color(red)(cancel(color(black)(x+2))))(x+3))/((color(red)(cancel(color(black)(x+2))))(x-1)) = (3(x+3))/(x-1)#

Assim:

#lim_(x->-2) (3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = lim_(x->-2) (3(x+3))/(x-1) = (3(color(blue)(-2)+3))/(color(blue)(-2)-1) = 3/(-3) = -1#