Existem caixas idênticas 2, bolas brancas idênticas 2, bola vermelha 1 e bola azul 1. De quantas maneiras diferentes podemos encher cada caixa com exatamente as bolas 2? De quantas maneiras diferentes podemos encher uma caixa com bolas 3 e a outra com 1?

Temos caixas 2 e bolas 4 (branco 2, vermelho 1, azul 1) e temos uma série de perguntas sobre o número de maneiras pelas quais podemos distribuir as bolas pelas caixas.

Bolas 2 por caixa

Na caixa A, podemos colocar bolas de gude 2:

WW, WR, WB, BR

e a outra caixa terá as outras bolas de gude 2. E, portanto, existem maneiras 4 de fazer isso.

Podemos fazer isso algebricamente dizendo que temos uma combinação com uma população de 4, escolhendo 2 e dividindo por #2!# para explicar as bolinhas brancas idênticas e adicionar 1 por poder permitir as duas bolinhas brancas na mesma caixa. A fórmula geral para uma combinação é:

#C_(n,k)=(n!)/((k)!(n-k)!)# com #n="population", k="picks"#

e assim temos:

#C_(4,2)/(2!)+1=(4!)/((2!)(4-2)!(2!))=(4!)/((2!)(2!)(2!))+1=>#

#24/8+1=3+1=4#

Bolas 3 na caixa 1, 1 na outra

Na caixa A, podemos colocar bolas de gude 3:

WWR, WWB, WRB

e a outra caixa levará o outro mármore. E, portanto, existem maneiras 3 de fazer isso na Caixa A. Também existem maneiras 3 de fazer isso na Caixa B, para um total de maneiras 6.

Podemos fazer isso algebricamente dizendo que temos uma combinação com uma população de 4, escolhendo 3, dividindo por #2!# para contabilizar os mármores brancos idênticos, e adicionar 1 para levar em conta os dois mármores brancos que estão na mesma caixa e, em seguida, multiplicar por 2 para as duas caixas:

#2(C_(4,3)/(2!)+1)=2((4!)/((3!)(4-3)!(2!))+1)=>#

#2((4!)/((3!)(1!)(2!))+1)=>#

#2((24/12)+1)=2(2+1)=2(3)=6#

Bolas 4 em uma caixa

Existe apenas a maneira 1 de colocar todas as bolas de gude 4 na caixa A e a maneira 1 de fazê-lo com a caixa B, portanto, existem maneiras no total de 2.

Qualquer número de bolas dentro das caixas - todos os mármores precisam estar em caixas

Se permitirmos qualquer número de bolinhas nas caixas e todas elas estiverem em caixas, podemos simplesmente adicionar as diferentes respostas:

#4+6+2=12#