Integrar log (sinx) do 0 ao pi / 2?

Responda:

#I=int_0^(pi/2)logsinxdx=-(pi/2)log2#

Explicação:

Usamos a propriedade #int_0^af(x)dx=int_0^af(a-x)dx#

portanto, podemos escrever #I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logsin(pi/2-x)dx#

or #I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logcosxdx#

or #2I=int_0^(pi/2)(logsinx+logcosx)dx=int_0^(pi/2)log(sinxcosx)dx#

= #int_0^(pi/2)log((sin2x)/2)dx=int_0^(pi/2)(logsin2x-log2)dx#

= #int_0^(pi/2)logsin2xdx-int_0^(pi/2)log2dx#

= #int_0^(pi/2)logsin2xdx-(pi/2)log2# .............(UMA)

Deixei #I_1=int_0^(pi/2)logsin2xdx# e #t=2x#, Em seguida #I_1=1/2int_0^pilogsintdt#

e usando a propriedade #int_0^(2a)f(x)dx=2int_0^af(a-x)dx#, Se #f(2a-x)=f(x)# - note que aqui #logsint=logsin(pi-t)# e chegamos

#I_1=1/2int_0^pilogsintdt=int_0^(pi/2)logsintdt=I#

Conseqüentemente (UMA) torna-se #2I=I-(pi/2)log2#

or #I=-(pi/2)log2#

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