O que é # sqrt65 # na forma radical simplificada?

A principal fatoração de #65# é:

#65 = 5 * 13#

Como isso não tem fatores quadrados #sqrt(65)# não pode ser simplificado.

Bônus

#65 = 64+1 = 8^2+1#

está na forma #n^2+1#.

As raízes quadradas de tais números têm uma forma simples de expansão contínua da fração:

#sqrt(n^2+1) = [n;bar(2n)] = n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+...))))))#

Então, no nosso exemplo:

#sqrt(65) = [8;bar(16)] = 8+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+...))))))#

Você pode obter aproximações racionais de #sqrt(65)# para qualquer precisão desejada, truncando a expansão da fração contínua mais cedo.

Por exemplo:

#sqrt(65) ~~ [8;16] = 8+1/16 = 8.0625#

#sqrt(65) ~~ [8;16,16] = 8+1/(16+1/16) = 8+16/257 ~~ 8.0622568#

O valor real é mais parecido com:

#sqrt(65) ~~ 8.0622577483#