O que é um grupo abeliano, de uma perspectiva de álgebra linear / abstrata?

A grupo # < G , •> # é um conjunto #G# junto com uma operação binária #•:GxxG->G# que cumpram as seguintes condições:

1. #G# is fechado para #•#.
   Para qualquer #a,binG#, temos #a•b in G#

2. #•# is associativo.
   Para qualquer #a,b,cinG#, temos #(a•b) • (c) = a •(b•c)#

3. #G# contém um elemento de identidade
   Existe #einG# tal que para todos #ainG#, #a•e=e•a=a#

4. Cada elemento de #G# tem um inverso in #G#
   Para todos #ainG# existe #a^(-1)inG# de tal modo que #a•a^(-1)=a^(-1)•a=e#

Diz-se que um grupo é Abelian se ele também tem a propriedade que #•# é comutativo, isto é, para todos #a,binG#, temos #a•b = b•a#.

o grupo #< ZZ, +># (os inteiros com adição padrão) é um grupo abeliano, pois cumpre todas as cinco condições acima.

o grupo #GL_2(RR)# (o conjunto de #2"x"2# matrizes com elementos reais juntamente com a multiplicação de matrizes) é não-abeliano, pois, embora cumpra as quatro primeiras condições, a multiplicação de matrizes entre matrizes invertíveis não é necessariamente comutativa. Por exemplo:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

mas

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#